HDU 6069 Counting Divisors （素数）

HDU 6069 Counting Divisors （素数）

Description

In mathematics, the function d(n) denotes the number of divisors of positive integer n.For example, d(12)=6 because 1,2,3,4,6,12 are all 12In this problem, given l,r and k, your task is to calculate the following thing : >(∑i=lrd(ik)) mod 998244353>

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤15)In each test case, there are 3 integers l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107)

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.

Sample Input

31 5 11 10 21 100 3

Sample Output

10482302

题意

给出 l,r,k ，求 [l,r] 中所有数的 k

思路

SPOJ 中有两道类似的题目，其中一个 ​​k = 2​​​ ，另一个 ​​k = 3​​ ，然后区间长度最大为 1012 ，用到了杜教筛与洲阁筛。

不过对于这道题来说，用不到那么高深的知识，因为区间长度只有 106

对于任意一个大于 1 的正整数 x ，其素因子至多只有一个处于 (x√,x] 这个区间内，其余全部小于等于 x√

另外，通过素数定理我们可以知道，任意一个正整数 x 可以表示为 x=pc11×pc22×...×pcnn ，其中 pi 为互不相同的质数，此时 x 的所有因子个数为 (c1+1)×(c2+1)×...×(cn+1)

同理， xk 所有因子个数为 (c1×k+1)×(c2×k+1)×...×(cn×k+1)

于是我们考虑枚举 r√ 以内的所有质数 i ，并在区间 [l,r] 中对 i 的倍数计算其含有多少 i

随后考虑每个数在 r√

累加该区间内所有数的统计结果即为最终答案。

AC 代码

#includeusing namespace std;typedef __int64 LL;const int maxn = 1e6+10;const int mod = 998244353;LL prime[maxn],tot;bool visit[maxn];LL l,r,k;LL num[maxn],sum[maxn];void getprime(){ tot=0; memset(visit,0,sizeof(visit)); for(int i=2; i=l) { LL res=0; while(num[j-l]%prime[i]==0) { num[j-l]/=prime[i]; res++; } sum[j-l]=sum[j-l]*(res*k+1)%mod; } LL ans=0; for(int i=0; i<=r-l; i++) { if(num[i]>1) sum[i]=sum[i]*(k+1)%mod; ans=(ans+sum[i])%mod; } cout<>T) { for(int i=0; i>l>>r>>k; solve(); } } return 0;}

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