Problem S4: Interesting Numbers 加强版 （数论）

Problem S4: Interesting Numbers 加强版 （数论）

Problem Description

We call a number interesting, if and only if:

1. Its digits consists of only 0, 1, 2 and 3, and all these digits occurred at least once.

2. Inside this number, all 0s occur before any 1s, and all 2s occur before any 3s.

Therefore, the smallest interesting number according to our definition is 2013. There are two more interseting number of 4 digits: 2031 and 2301.

Your task is to calculate the number of interesting numbers of exactly n digits. As the answer might be very large, you only need to output the answer modulo 1000000007.

Input Format

The input has one line consisting of one positive integer n (4 ≤ n ≤ 10^15).

Output Format

The output has just one line, containing the number of interesting numbers of exactly n digits, modulo 1000000007.

Input Sample

4

Output Sample

3

题意：求同时满足这样两个条件的n位数的数量：

1. 0、1、2、3这几个数都出现过。

2. 所有0都在1之前，所有2都在3之前。

比如样例：4位数：2013，2031，2301。

题解：

我们很容易看出，数的第一位必然是2，因为第一位不可能是0，而1和3显然也是不行的。

所以我们只需要考虑后面 n−1位，设{0，1}在剩余n−1位中占用x个数字，那么{2,3}占用n−1−x个数。所以{0，1}有x−1种数的安排方法（考虑0出现的次数），{2，3}则有 n−1−x种数的安排方法。我们设一下吧，m=n−1。所以这些数的安排方法有f[x]=(n−1x)∗(x−1)∗(n−1−x)=(mx)∗(x−1)∗(m−x)。

有i个位置放{0,1}，m−i个位置放{2,3}。对于，2<=i<=m−1，ans=∑m−1i=2(n−1i)∗(i−1)∗(m−i)

因为：f[0]=−m，f[1]=f[m]=0。

所以：ans−m=∑mi=0(n−1i)∗(i−1)∗(m−i)=∑mi=0(n−1i)∗(−i2+i+m∗i−m)。

又因为：(1+x)m=∑mi=0(mi)∗xi

令x=1，2m=∑mi=0(mi)

对(1+x)m求导，得m∗(1+x)m−1=∑mi=1i∗(mi)∗xi−1

两边乘上x，得m∗x∗(1+x)m−1=∑mi=0i∗(mi)∗xi

令x=1，所以：m∗(2)m−1=∑mi=0i∗(mi)。

对m∗x∗(1+x)m−1=∑mi=0i∗(mi)∗xi。

两边求导并乘上x得：m∗(1+x)m−1+m∗(m−1)∗(1+x)m−2=∑mi=0i2∗(mi)∗xi。

这时，令x=1，m∗2∗(2)m−2+m∗(m−1)∗(2)m−2=∑mi=0i2∗(mi)

化简：(m2+m)∗(2)m−2=∑mi=0i2∗(mi)

所以：ans=−(m2+m)∗2m−2+(m+1)∗m∗2m−1−m∗2m+m

化简：ans=(m2−3∗m)∗2m−2+m，其中m=n−1。

然后，快速幂就可以解决啦。复杂度O(logN)。

代码：

#includeusing namespace std;typedef long long ll;const int mod=1e9+7;ll q_mod(ll a,ll b){ ll ans1=1; ll tmp=a; while(b>0) { if(b&1) ans1 = ans1 * tmp % mod; b>>=1; tmp = tmp * tmp % mod; } return ans1;}int main(){ ll ans=0,tmp=0; ll n; cin>>n; n--; ans = (n % mod) * (n % mod); ans = ((ans - 3 * n) % mod + mod) %mod; tmp = q_mod(2,n-2);// cout<

版权声明：本文内容由网络用户投稿，版权归原作者所有，本站不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。如果您发现本站中有涉嫌抄袭或描述失实的内容，请联系我们jiasou666@gmail.com 处理，核实后本网站将在24小时内删除侵权内容。