石子合并问题 （区间dp）

石子合并问题 （区间dp）

石子合并问题是最经典的DP问题。首先它有如下3种题型：

(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

分析：当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。

(2)

有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：

当 i = j 时，dp[ i ][ j ] = 0;

当i != j 时，dp[ i ][ j ] = min(dp[i][j], dp[ i ][ k ]+dp[ k+1 ][ j ] ) + sum[ i ][ j ].

代码：复杂度为O(n^3).

#includeusing namespace std;int a[1010];int dp[1010][1010];int sum[1010][1010];int main(){ ios::sync_with_stdio(false); int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; } for(int i=1;i

因为上面的复杂度为O(n^3)，那么我们可以利用平行四边形优化，优化为O(n^2).

代码：

#includeusing namespace std;int a[1010];int dp[1010][1010];int sum[1010][1010];int p[1010][1010];int main(){ ios::sync_with_stdio(false); int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; } for(int i=1;i

(3)

问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？

分析：状态转移方程为：

当 j =0 时，dp[i][j]=0.

当 j > 0&& 0<=k < j, dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[(i+k+1)%n][j-k-1] + sum(i,j).

代码：

#includeusing namespace std;const int INF = 1 << 30;const int N = 205;int mins[N][N];int maxs[N][N];int sum[N],a[N];int minval,maxval;int n;int getsum(int i,int j){ if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n); else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);}void solve(int a[],int n){ for(int i=0;i

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