Sam 数（矩阵乘法）

Sam 数（矩阵乘法）

Sam 数

Sam 数是指相邻的两位数字相差不超过 2 的数。求长度为 n 的 Sam 数有多少个。输出对 1000000007 取余后的结果。 n <= 10^18 。

分析

首先，递推式很明显：

用 f(i, j) 表示第 j 位为 i 时总的个数（先不考虑各种特殊情况），则

f(i, j) = f(i-2, j-1) + f(i-1, j-1) + f(i, j-1) + f(i+1, j-1) + f(i+2, j-1)

我们考虑这样一个矩阵 A ：

[ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]

这个 1*10 矩阵表示当第一位为 i 且一共只有 1 位时的方案数。

考虑另一个矩阵 B ：

这个矩阵的第 i 行 第 j 列 表示当某一位为 j ，相邻一位取 i 时的方案数。

我们将矩阵 A 与 B 相乘一次，可以得到一个 1*10 的矩阵，很明显，这个矩阵的第 i个元素的值表示当第一位为 i 且一共有 2 位时的方案数，那么矩阵的元素和即 n=2 时的结果。

同理，将 A 不断地与 B 相乘，对于 n ，最终得到的矩阵为 A * (B ^ n-1) 的结果，这个矩阵的元素和即最终答案。注意 n=1 的时候特判，这时 0 也算一个方案，所以答案为 10 。

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